Rabu, 23 Mei 2012

PERPOTONGAN ANTARA DUA FUNGSI


PERPOTONGAN ANTARA DUA FUNGSI
A.    FUNGSI
 Fungsi adalah suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hubungan fungsional) antara suatu variabel dengan variabel lain. Sebuah fungsi dibentuk oleh beberapa unsur pembentuk fungsi, yaitu variable, koefisien dan konstanta.
Variabel ialah unsur pembentuk fungsi yang mencerminkan atau mewakili faktor tertentu, dilambangkan dengan huruf-huruf Latin. Koefisien ialah bilangan atau angka yang terkait pada dan terletak di depan suatu variabel dalam suatu fungsi. Adapun konstanta ialah bilangan atau angka yang turut membentuk sebuah fungsi tetapi berdiri sendiri sebagai bilangan dan tidak terkait pada suatu variabel tertentu.
Notasi sebuah fungsi secara umum : y = f(x)
Contoh : y = f(x) = 5 + 0,8 x     
y merupakan dependen variable, 5 adalah konstanta, 0,8 koefisien variasi x dan x adalah independen variable

B. Jenis-Jenis Fungsi
      Fungsi dapat digolong-golongkan menjadi beberapa kelompok. Rincian jenis-jenis fungsi selengkapnya dapat dilihat dibawah ini :

            I. FUNGSI LINEAR ( Fungsi Garis Lurus )
                    Adalah fungsi yang memiliki 2 variable atau lebih yang masing-masing variable nilainya saling mempengaruhi.
 Ø  Bentuk persamaannya  :
                                       y = ax + b
      Dimana ;
      y = Variable tidak bebas
      x = Variable bebas
      a dan b = konstanta.
Ø  Ciri-ciri persamaan linear  :
            1.      Apabila a > 0 maka garis akan bergerak dari bawah ke kanan atas.
            2.      Apabila a < 0 maka garis akan bergerak dari kiri atas ke kanan bawah.
            3.      Apabila a1 ≠ a2 maka garis akan berpotongan.
            4.      Apabila a1 = a2 maka garis akan sejajar.
            5.      titik b merupakan perpotongan pada sumbu y.
            6.      a disebut juga tan α, a juga berarti menunjukan arah.
Rumus umum tan α :
      a = y2 – y1
x2 – x1
Ø  Contoh soal persamaan linear
1. 
X
1
2
3
Y
9
11
13
      a.   Tentukan persamaannya !
      b.   Gambarkan grafiknya !

Jawab  :
y    =  ax + b                            9    =   a + b
9    =  a + b                              11  =   2a + b    _
11  =  2a + b                            -2   =  -a
13  =  3a + b                            a    =  2
                                    9  =  a + b
                                    9  =  2 + b
                                                B  =  7

                                    Jadi persamaannya  y  2x + 7
 FUNGSI KUADRAT
Ø  Bentuk persamaannya
                        y  =  ax2 + bx + c
      Dimana ;
              y  =  variable tidak tetap
              x  =  variable tetap
      a, b, c  =  konstanta
Ø  Ciri-ciri persamaan kuadrat
            1.      Jika a positif maka gambar membuka ke atas.
            2.      jika a negatif maka gambar membuka ke bawah.
            3.      semakin besar a, maka gambar semakin sempit.
            4.      semakin kecil a maka gambar semakin lebar
            5.      titik puncak membelah gambar sama besar
            6.      titik a merupakan titik potong fungsi dengan sumbu y dimana x  =  0
            7.      titik b dan c merupakan titik potong fungsi dengan sumbu x dimana y  =  0
            8.      Titik p disebut titik puncak
            9.      jika x  =  0 maka c merupakan titik potong dengan sumbu y

 Ø  Contoh soal
X
1
2
3
4
Y
8
13
20
29

Tentukan persamaan dan gambarkan !

            Jawab  :
            y   =  ax2 + bx + c       5    =  3a + b    x 1                  
            8   =  a + b + c                                       12  =  8a + 2b        x 2
            13 =  4a + 2b + c                                   10  =  6a + 2b
            20 = 9a + 3b + c                                    12  =  8a + 2b     _
                                                                          -2  =  -2 a
                                                                           a   =  1
      13  =  4a + 2b  + c
      8    =    a +   b  + c          _
      5    =  3a + b         (1)                                5   =  3a + b
                                                                        5   =  3 + b
                                                                        b   =  2
      20   =  9a + 3b + c
      8   =    a +   b + c             _
       12  =  8a + 2b + c  (2)                              8   =  a + b + c
                                                                        8   =  1 + 2 + c
                                                                        c   =  8 – 3
                                                                        c   =  5
Jadi persamaannya adalah   y  =  x2 + 2 x + 5


III. PERPOTONGAN GARIS  ( Titik Keseimbangan )
Ø  Fungsi kebalikan
Rumus umum   :   x  =  ay2 + by + c
Contoh soal   :
Carilah titik keseimbangan antara persamaan y  =  -2x + 50 dengan persamaan y  =  -x +7 ! Jawab  :
            y    =  -2x + 50
            2x  =  -y + 50
              x  =  -½y  + 25    ( D )                                   x  =  - ½ y + 25
x
0
25
y
50
0


            y    =  -x + 70
            x    =  -y + 70          ( S )                                  x  =  -y + 70
x
0
70
y
70
0


                  D       =      S
            ½ y + 25  =  -y + 70
                 ½ y     =    45
                     y     =   90

            x  =  -y + 70
            x  =  -90 + 70
            x  =  -20

titik potong ( -20, 90 )


C.FUNGSI PERMINTAAN DAN PENAWARAN

Ø  Fungsi Permintaan  ( D )
      Adalah fungsi yang menunjukan hubungan antara jumlah produk yang diminta konsumen pada periode tertentu dan dipengaruhi oleh  :
      1.      Harga produk itu sendiri
      2.      Pendapatan konsumen
      3.      Harga produk yang diharapkan pada periode mendatang
      4.      Harga produk lain yang saling berhubungan
      5.      Selera konsumen
Ø  Fungsi Penawaran  ( S )
      Adalah fungsi yang menunjukan hubungan antara jumlah produk yang ditawarkan pada periode tertentu dandipengaruhi oleh  :
      1.      Harga produk tersebut
      2.      Tingkat teknologi yang tersedia
      3.      Harga dari faktor produksi (input) yang digunakan
      4.      Harga produk lain yang berhubungan dalam produksi
      5.      Harapan produsen terhadap harga produk tersebut di masa mendatang
Ø  Keseimbangan Pasar  ( E )
      1.      Keseimbangan pasar satu macam produk
            Syarat untuk mencapai ini adalah jumlah produk yang diminta oleh konsumen harus sama dengan jumlah prosuk yang ditawarkan oleh produsen ( Qd = Qs ) atau harga produk yang diminta sama dengan produk yang ditawarkan ( Pd = Ps )
                                      
Contoh soal  :
Fungsi permintaan ditunjukan oleh persamaan Qd = 10 – 5p dan fungsi penawarannya  adalah Qs  =  7 – 2p
a.  Berapakah harga dan jumlah keseimbangan pasar ?
b.  Tunjukkan secara geometri !


Jawab  :
a.)     Qd      =     Qs                                                         b.)  Gambar keseimbangan pasar
      10 – 5 p  =  7 – 2p                        
Q
0
10
P
2
0
            3p      =     3                                                                 Q  =  10 – 5p
            P      =      1

      Q  =  10 – 5p                                                        
            Q  =  5                                                             Q  =  7 – 2p
Q
0
10
P
2
0
      Harga danjumlah keseimbangan
      pasar adalah E ( 5,1 )

            Fungsi permintaan dan penawaran dapat perluas menjadi fungsi yang memiliki dua variable bebas yaitu harga produk itu sendiri dan harga produk lain yang saling behubungan. Misalnya ada dua produk x dan y yang saling behubungan dimana;
Qdx  =  Jumlah yang diminta untuk produk x
Qdy  =  Jumlah yang diminta untuk produk y
Px     = Harga barang x
Py     = Harga barang y


Contoh soal  :
Diketahui fungsi permintaan dan penawaran dua macam produk yang memiliki hubungan subsitusi  :
Qdx  =  4 – 2Px + Py
Qdy  =  -4 + Px + 5Py
Qsx  =  -8 + 3Px – 5Py
Qsy  =  5 – Px – Py
Carilah keseimbangan pasarnya


Jawab  :
     Qdx     =      Qsx
4 – 2Px + Py  =  -8 + 3Px – 5Py
        12     =  5Px – 6Py    ( 1 )

        Qdy        =          Qsy
-4 + Px + Py  =  5 – Px – Py
      9        =  2Px + 6Py     ( 2 )
12  =  5Px – 6Py
 9  =  2Px + 6Py    +
21  =  7Px
Px  =  3

9  =  2Px + 6Py
9  =  2 (3) + 6 Py
9  =  6 + 6 Py
6Py  =  3
Py    =  ½

Qdy  =  -4 + Px + 5Py
         =  4 – 6 + ½
         =  -1 ½

Ø  Pengaruh Pajak ( t ) Pada Keseimbangan Pasar
            Jika sesuatu produk dikenakan pajak oleh pemerintah, maka akan terjadi perubahan keseimbangan atas produk tersebut. Pada produk tertentu akan menyebabkan harga produk tersebut naik karena produsen membebankan sebagian pajak pada konsumen, sehingga jumlah produk yang diminta pun berkurang.

TG = Pajak total oleh pemerintah = d, b, Et, Pt
TK = Pajak yang ditanggung oleh konsumen = Pt, Po, C, Et
TP  = Pajak yang ditanggung oleh produsen = Po, C, B, d
Maka   :           TK = ( Pt – Po ) Qt
                        TG = t.Qt
                        TP = TG – TK
Qt  = Jumlah kseimbangan setelah kena pajak.
Contoh soal  :
Diketahui suatu produk ditunjukan fungsi permintaan P = 8 + Q dan fungsi penawaran P = 16 – 2Q. Produk tersebut dikenakan pajak sebesar Rp. 3,-/unit
a.   berapa harga dan jumlah keseimbangan pasar sebelum dan sesudah pajak ?
b.   berapa besar penerimaan pajak oleh pemerintah ?
c.   Berapa besar pajak yang ditanggung kosumen dan produsen ?

Jawab ;
a.     Pd     =      Ps
      7 + Q  =  16 – 2Q                          P  =  7 + Q
      3Q      =  9                                     P  =  7 + 3
       Q       =  3                                     P  =  10
                                                            Jadi keseimbangan pasar sebelum pajak E ( 3,10 )
      Pt  =  16 – 2Q + t
           =  16 – 2Q + 3
           =  19 – 2Q                                     Pt       =      Pd
                                                            19 – 2Q  =   7 + Q
                                                                 3Q     =    12
                                                                   Q     =    4

                                                            Pt  =  19 – 2Q
                                                                 =  19 – 8
                                                                 =  11
Jadi keseimbangan pasar setelah pajak E ( 4,11 )

b.   TG  =  t.Qt
             =  3 . 4
             =  12  ( Besarnya penerimaan pajak oleh pemerintah Rp. 12,- )
c.   TK  =  ( Pt – Po ) Qt
             =  ( 11 – 10 ) 4
             =  4     ( Besar pajak yang ditanggung konsumen Rp. 4,- )
      Tp   =  TG – TK
             =  12 – 4
             =  8     ( Besar pajak yang ditanggung produsen Rp. 8,- )

Ø  PENGARUH SUBSIDI PADA KESEIMBANGAN PASAR
    Subsidi ( s ) adalah bantuan yang diberikan pemerintah kepada produsen terhadap produk yang dihasilkan atau dipasarkan, sehingga harga yang berlaku dipasar lebih rendah sesuai dengan keinginan pemerintah dan daya beli masyarakat meningkat. Fungsi penawaran setelah subsidi adalah F ( Q )  =  P + S  atau  P  =  F ( Q ) – S

Contoh Soal  ;
Permintaan akan suatu komoditas dicerminkan oleh Q  =  12 – 2P sedangkan penawarannya Q  =  -4 + 2P pemerintah memberikan subsidi sebesar Rp. 2,- setiap unit barang.
a.  berapakah jumlah dan harga keseimbangan sebelum subsidi ?
b.  berapakah jumlah dan harga keseimbangan sesudah subsidi ?
c.  berapa bagian dari subsidi untuk konsumen dan produsen ?
d.  berapa subsidi yang diberikan pemerintah ?
Jawab  ;
a.)       Qd     =     Qs                                       Q  =  12 – 2P
      12 – 2P  =  -4 + 2P                                         =  12 – 8
          4P      =   16                                                =  4
                  P      =    4              ( Keseimbangan pasar sebelum subsidi So ( 4, 4 )


b.)  Qd   =  12 – 2P    =>     P  =  ½ Qd + 6                      Pd      =    Pss
       Qs   =  -4 + 2P     =>     P  =  ½ Qs + 2                - ½ Q + 6  =  ½ Q
       Pss  =  ½ Q + 2 – 2                                                     Q       =    6
       Pss  =  ½ Q                                                           P  =  ½ Q
                                                                                    P  =  3
       ( Keseimbangan pasar setelah subsidi Ss ( 6, 3 )
c.)  SK  =  ( Po – Ps ) Qs                                            SP  =  S – (( Po – Ps ) Qs)
                    =  ( 4 – 3 ) 6                                                               =  12 – (( 4 – 3 ) 6 )
       SK  =  6                                                                       =  12 - 6
       SG  =  Qs . s                                                                =  6
                    =  6 . 2 = 12                                             ( Besar subsidi untuk produsen Rp. 6,- )
      ( Besar subsidi untuk konsumen = Rp. 12,- )
d.)  Subsidi yang diberikan pemerintah
       SG  =  s . Qs
                    =  2 . 6
                    =  12

FUNGSI BIAYA DAN FUNGSI PENERIMAAN
      1.      Fungsi Biaya
      a.   Biaya tetap ( Fixed Cost )
     
2.   Fungsi Penerimaan
      Penerimaan hasil penjualan merupakan fungsi dari jumlah barang yang terjual. Penerimaan total ( total revenue ) adalah hasil kali jumlah barang yang terjual dengan harga jual perunit.
3.  Hukum Analisis Pulang Pokok / BEP / Titik Impas
            -  Keuntungan profit ( profit positif ) diperoleh jika R > C
            -  Kerugian ( profit negatif ) diperoleh jika R< C
4.   Konsep Analisis Pulang Pokok
      Keadaan pulang pokok ( profit nol ) terjadi jika R = C. Perusahaan tidak memperoleh keuntungan, namun tidak juga mengalami kerugian.
Contoh soal :
Andaikan biaya total yang dikeluarkan perusahaan ditunjukan oleh persamaan C = 20000 + 100Q dan penerimaan totalnya R = 200 Q. Pada tingkat berapa perusahaan mengalami pulang pokok ? apa yang terjadi jika perusahaan memproduksi 150 unit ?
Jawab ;
C  =  20.000 + 100Q                                       Jika  Q  =  150
R  =  200Q                                                      C  =  20000 +  100Q
R  =  C                                                            C  =  20000  + 100 ( 150 )
300Q  =  20000 + 100Q                                  C  =  20000  +  15000
200Q  =  20000                                               C  =  35000
      Q  =  100                                                   R  =  200Q
                                                                                    R  =  30000
                                                         ( Perusahaan mengalami kerugian karena R < C )

Ø  MAKSIMUM DAN MINIMUM FUNGSI
Contoh soal  :
y  =  2x3 – 3x2 – 12x + 24
Tentukan nilai maksimum dan minimum serta titik beloknya.
Jawab  ;
y  =  2x3 – 3x2 – 12x + 24
y’ =  6x2 – 6x + 12
y  =  0
6x2 – 6x + 12   : 6
x2 – x + 2
( x -2 ) ( x + 1 )
x  =  2    x  =  -1
x ( -1 )  =  2x3 – 3x2 – 12x + 24
       =  2(-1)3 – 3(-1)2 – 12(-1) + 24
       =  -2 – 3 + 12 + 24
       =  31
x (-1);  x  =  0   y  =  24
x (-1);  x  =  -2   y  =  -16 – 12 – 24 + 24
                        =  20
x  =  2   y  =  16 – 12 – 24 + 24
                        =  4
x > 2; x  =  3   y  =  54 – 27 – 36 + 24
                        =  15
x < 2; x  =  1   y  =  2 – 3 – 12 + 24
                        =  11

 TITIK BELOK
      Dimana fungsi membelok kearah cekungan yang berlawanan. Syaratnya y’’  =  0
Contoh soal  :
y   =  2x3 – 3x2 – 12x + 24
y’  = -6x2 – 6x – 12
y’’ =  12x -6
y’’ =  0
12x -6  =  0
12x  =  6
x      =  2


y   =  2x3 – 3x2 – 12x + 24
     =  16 – 12 – 24 + 24
     =  4.

D.  Diferensial
Pengertian Diferensial Darivatif atau turunan dy/dx tidak dianggap sebagai suatu hasil bagi atau pecahan dengan dy sebagai pembilang dan dx sebagai penyebut, melainkan sebagai lambang yang menyertakan limit dari Δy/Δx, sewaktu ∆x mendekati nilai nol sebagai limit.
Penerapan Diferensial Ekonomi
1 Elastisitas Elastisitas dari suatu fungsi y=f(x) berkenaan dengan x dapat didefinisikan sebagai : η= Ey/Ex= lim┬(∆x→0)⁡〖((∆y/y))/((∆x/x))= dy/dx . x/y. Ini berarti bahwa elastisitas y=f(x) merupakan limit dari rasio antara perubahan relative dalam y terhadap perubahan relative dalam x, untuk perubahan x yang sangat kecil atau mendekati nol. Dengan terminology lain, elastisitas y terhadap x dapat juga dikatakan sebagai rasio antara persentase perubahan y terhadap perubahan x
Elastisitas Permintaan Elastisitas permintaan (istilahnya yang lengkap : elastisitas harga permintaan, price elasticity of demand) ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yang diminta akibat adanya perubahan harga. Jadi, merupakan rasio antara persentase perubahan jumlah barang yang diminta terhadap persentase perubahan harga.
           
Elastisitas Produksi
Elastisitas produksi ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah keluaran (output) yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah masukan (input) yang digunakan.
Jadi, merupakan rasio antara persentase perubahan jumlah keluaran terhadap persentase perubahan jumlah masukan. Jika P melambangkan jumlah produk yang dihasilkan sedangkan X melambangkan jumlah factor produksi yang digunakan, dan fungsi produksi dinyatakan dengan P = f(X), maka efisiensi produksinya :
ηp= (%∆P)/(%∆X)= EP/EX=lim┬(∆X→0)⁡〖((∆P/P))/((∆X/X))= dP/dX.X/P
Dimana dP/dX adalah produk marjinal dari X [P' atau f' (X)].

Contoh kasus :
Fungsi produksi suatu barang ditunjukan oleh persamaan P = 6 X2 – X3. Hitunglah elastisitas produksinya pada tingkat penggunaan factor produksi sebanyak 3 unit dan 7 unit.
P = 6 X2 – X3 P’ = dP / dX = 12 X – 3 X2
ηp= dP/dX . X/P=(12 X- 3 X^2 ).X/((6 X^2- X^3))
Pada X = 3, ηp= (36- 27) . 3/((54-27))=1
Pada X = 7, ηp= (84- 147) . 7/((294-343))=9
η_p=1 berarti bahwa, dari kedudukan X = 3, maka jika jumlah input dinaikkan (diturunkan) sebesar 1% maka jumlah output akan bertambah (berkurang) sebanyak 1 %
Dan η_p=9 berarti bahwa, dari kedudukan X = 7, maka jika jumlah input dinaikkan (diturunkan) sebesar 1% maka jumlah output akan bertambah (berkurang) sebanyak 9 %

E. Integral
Integral Tak Tentu
Integral tak tentu atau antiderivatif adalah suatu bentuk operasi pengintegralan suatu fungsi yang menghasilkan suatu fungsi baru. fungsi ini belum memiliki nilai pasti (berupa variabel) sehingga cara pengintegralan yang menghasilkan fungsi tak tentu ini disebut integral tak tentu.
Sifat-sifat integral tak tentu :
ʃ  a dx = ax (a = konstanta/bilangan)
ʃ  k f(x) dx = k ʃ  f(x) dx (k = konstanta)
ʃ  f(x) ± g(x) dx = ʃ  f(x)dx + ʃ  g(x) dx
Contoh soal :
ʃ 3x √(x^2-3) dx = ........
Menjawab soal ini dgn cara substitusi atau cara parsial??
Kita uraikan dulu :
Misal : g(x) = 3x
            f(x) = x^2-3, sehingga f ‘(x) = 2x
            Ternyata dapat diperoleh hubungan g(x) = 3/2 f ‘(x)  ------à 3x=3/2 . 2x

Jadi gunakan penyelesaian cara substitusi. Ingat, Integral Substitusi adalah perkalian dua buah fungsi dimana fungsi yang satu merupakan kelipatan dari turunan pertama fungsi yang lain. Bentuknya ʃ g(x) f^n(x) dx. Syaratnya : g(x) = k. f ‘(x). k = bilangan pengali ≠ 0.
Jadi Penyelesaian Soal :  ʃ 3x √(x^2-3) dx = ʃ 3x (x^2-3)^1/2 dx
Ingat Rumus yang ini : ʃ g(x) f^n(x) dx = g(x) / {(n+1) f ‘(x)} . f ^(n+1) (x) dx + C
ʃ 3x (x^2-3)^1/2 dx  =  3x / {(1/2+1).2x} . (x^2 – 3)^(1/2+1) + C
                                  =  3x / (3/2.2x) . (x^2 – 3)^3/2 + C
                                  =  (x^2 – 3)^3/2 + C
                                  =  (x^2 – 3) √(x^2 – 3) + C
Selesaikan soal sangat mudah berikut dgn menggunakan Rumus Integral Substitusi :
ʃ 4(2x-5)^3 dx = .....................
Contoh Penyelesaian Soal Integral dengan cara Parsial :
ʃ 4x (2x + 5)^4 dx = .............
Soal seperti  ini lebih baik dikerjakan dgn cara Parsial dari pada cara Substitusi.
f(x) = 4x  cukup diturunkan satu kali hingga mencapai konstanta 4
g(x) = (2x+5)^4 diintegralkan dua kali, karena f(x) nya cuma diturunkan satu kali.


Gunakan Rumus Tanzalin : ʃ f(x).g(x) = f(x) ʃ g(x) dx   f ‘(x) ʃʃ g(x) dx  (cukup sampai sini kali + 1kali - karena sudah mencapai konstanta)
Langkah 1 :  4x. 1/10 (2x+5)^5 kali +1
Langkah 2 :  4. 1/120 (2x+5)^6 kali -1
                  = 2/5 x (2x+5)^5 – 1/30 (2x+5)^6 + C
                  = 1/30 (2x+5)^5 (12x – (2x+5)) + C
                  = 1/30 (2x+5)^5 (10x – 5) + C
            Integral Tertentu
Integral yang dilengkapi dengan batas daerah definisinya.
Bentuk Umum :
ʃ [a,b] f(x) dx = [F(x)][a,b] = [F(x)) = F(b) – F(a)]
Sifat-sifat Integral Tertentu :
ʃ [a,b] [f(x) ± g(x)] = ʃ [a,b] f(x) dx ± ʃ [a,b] g(x) dx
ʃ [a,b] f(x) dx + ʃ [b,c] f(x) dx = ʃ [a,c] f(x) dx ------à a < b < c
ʃ [a,b] f(x) dx  = - ʃ [b,a] f(x) dx
ʃ [a,b] k f(x) dx = k ʃ [a,b] f(x) dx
ʃ [a,a] f(x)  = 0
Keterangan : [a,b] = a batas bawah, b batas atas.
Penerapan Ekonomi Integral
Penedekatan integral taktentu dapat diterapkan untuk mencari persamaan fungsi total dari suatu variable ekonomi apabila persamaan fungsi marjinalnya diketahui. Karena fungsi marjinal pada dasarnya merupakan turunan dari fungsi total, maka dengan proses sebaliknya-yakni integrasi-dapatlah dicari fungsi asal dari fungsi turunan tersebut atau fungsi totalnya. Pendekatan integral tertentu diterapkan pada suatu keuntungan lebih atau surplus yang dinikmati oleh konsumen tetentu berkenaan dengan tingkat harga pasar suatu barang(surplus konsumen) dan keuntungan lebih atau surplus yang dinikmati oleh produsen tetentu berkenaan dengan tingkat harga pasar dari barang yang ditawarkannya(surplus produsen).
 Matriks
Matriks adalah suatu kumpulan besaran (variabel dan konstanta) yang tersusun dalam baris dan kolom berbentuk persegi panjang. Matriks merupakan suatu cara visualisasi variabel yang merupakan kumpulan dari angka-angka atau variabel lain, misalnya vektor. Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur. Pemanfaatannya misalnya dalam menjelaskan persamaan linier, transformasi koordinat, dan lainnya. Matriks seperti halnya variabel biasa dapat dimanipulasi, seperti dikalikan, dijumlah, dikurangkan dan didekomposisikan.